Suites (4 semaines) -- Définitions générales, suites majorées, minorées, monotones.
Suites arithmétiques et géométriques. Suites définies par récurrence. -- Suites convergentes
dans R: définition (en termes d’intervalles de R et en termes d’inégalités avec ε).
Opérations sur les suites convergentes, liens avec les suites majorées ou minorées, borne
supérieure. Passage à la limite dans une égalité et une inégalité, encadrements, suites
adjacentes. --Suites tendant vers ±∝ : définition (en termes d’intervalles et en termes
d’inégalités), opérations sur les suites tendant vers ±∝ , liens avec les suites non majorées
ou non minorées, une suite croissante non majorée tend vers +∝ . -- Suites extraites, valeur
d’adhérence. Théorème de Bolzano-Weierstrass.
Fonctions d’une variable réelle (8 semaines) -- Limites, continuité. Fonctions tendant
vers une limite l dans R (ou C) en ±∝ , en un point adhérent à leur intervalle de définition.
Fonctions tendant vers ±∝ , en un point adhérent à leur intervalle de définition. Unicité de
la limite. Opérations sur ces fonctions. Traduction en termes de suites. Fonctions continues
en un point de leur intervalle de définition. Caractérisation en termes de suites. Fonctions
continues sur leur intervalle de définition. -- Théorème des valeurs intermédiaires. Image
d’un segment par une fonction continue. Fonctions continues strictement monotones sur leur
intervalle de définition, bijection réciproque. Fonctions équivalentes au voisinage d’un
point. Exemples d’études de suites du type un+1= f(un). -- Dérivabilité. Définition,
opérations sur la dérivée (somme, produit, quotient, composition). Lien avec la continuité.
Fonctions dérivables sur leur intervalle de définition. Dérivée de la réciproque d’une
bijection dérivable. Théorème de Rolle, théorème et inégalité des accroissements finis.
Fonction de classe C1. Dérivées d’ordre supérieur, fonction de classe C', de classe C∝ .
Règle de Leibniz. Développements limités. Définition, propriétés élémentaires, somme,
produit, quotient, com- position, primitive. Formule de Taylor-Young. Développements limités
des fonctions usuelles. Application à des exemples d’études de limites et de branches
infinies. Applications à l’étude locale d’une fonction (extrema, position relative de deux courbes).
Prérequis :
ENSMI1U1 Introduction à l'analyse
Modalités de contrôle des connaissances :
1ere session : NF= 1/4(P1+P2+E+CC) -- 2nde session NF= E
